题目内容

已知关于x的方程(a+2)x2-2ax+a=0有两个不相等的实数根x1和x2,并且抛物线y=x2-(2a+1)x+2a-5于x轴的两个交点分别位于点(2,0)的两旁.
(1)求实数a的取值范围;
(2)当|x1|+|x2|=2
2
时,求a的值.
分析:(1)由方程(a+2)x2-2ax+a=0有两个不相等的实数根x1和x2,利用根的判断式解得a<0,再由抛物线y=x2-(2a+1)x+2a-5于x轴的两个交点分别位于点(2,0)的两旁,解得:a>-
3
2
.由此能求出实数a的取值范围.
(2)由
x1+x2=
2a
a+2
x1x2=
a
a+2
,知|x1|+|x2|=2
2
,由此进行分类讨论,能求出实数a的值.
解答:解:(1)∵方程(a+2)x2-2ax+a=0有两个不相等的实数根x1和x2
∴△=4a2-4a(a+2)=-8a>0,
解得:a<0,
∵抛物线y=x2-(2a+1)x+2a-5于x轴的两个交点分别位于点(2,0)的两旁
∴f(2)<0即f(2)=4-2(2a+1)+2a-5=-2a-3<0,
解得:a>-
3
2

综上所述得:-
3
2
<a<0

(2)
x1+x2=
2a
a+2
x1x2=
a
a+2

|x1|+|x2|=2
2

(|x1|+|x2|)2=x12+x22+2|x1x2|=(x1+x2)2-2x1x2+2|x1x2|
①当x1x2=
a
a+2
≥0

即a≥0或a<-2时,
(|x1|+|x2|)2=(x1+x2)2=(
2a
a+2
)2=8

解得:a=-4±2
2
(舍),
②当x1x2=
a
a+2
<0

即-2<a<0时,
(|x1|+|x2|)2=(x1+x2)2-4x1x2=(
2a
a+2
)2-
4a
a+2
=
-8a
(a+2)2
=8

解得:a=-4或-1,∵-2<a<0,∴a=-1.
综上所述:a=-1.
点评:本题考查实数a的取值范围的求法,考查满足条件的实数值的求法,解题时要认真审题,注意等价转化思想的合理运用.
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