题目内容
【题目】如图1,,过动点
作
,垂足
在线段
上且异于点
,连接
,沿
将
折起,使
(如图2所示),
(1)当的长为多少时,三棱锥
的体积最大;
(2)当三棱锥的体积最大时,设点
分别为棱
的中点,试在棱
上确定一点
,使得
,并求
与平面
所成角的大小.
【答案】(1) ;(2)
,
【解析】
(1)设,先利用线面垂直的判定定理证明
即为三棱锥
的高,再将三棱锥的体积表示为
的函数,最后利用导数求函数的最大值即可;
(2)由(1)可先建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标和相关向量的坐标,设出动点的坐标,先利用线线垂直的充要条件计算出
点坐标,从而确定
点位置,再求平面
的法向量,从而利用夹角公式即可求得所求线面角
(1)设,则
∵折起前,∴折起后
∴平面
∴
设,
∵,∴
在
上为增函数,在
上为减函数
∴当时,函数
取最大值
∴当时,三棱锥
的体积最大;
(2)以为原点,建立如图直角坐标系
,
由(1)知,三棱锥的体积最大时,
,
∴
,且
设,则
∵,∴
即,
∴,∴
,
∴当时,
设平面的一个法向量为
,由
及
得,取
设与平面
所成角为
,则
,
∴
∴与平面
所成角的大小为
.
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