Question

【题目】对于正整数，如果个整数满足，

且，则称数组为的一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”的个数为均为奇数的“正整数分拆”的个数为.

(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;

(Ⅱ)对于给定的整数，设是的一个“正整数分拆”，且，求的最大值;

(Ⅲ)对所有的正整数，证明:;并求出使得等号成立的的值.

(注:对于的两个“正整数分拆”与，当且仅当且时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ，，，，；(Ⅱ) 为偶数时，，为奇数时，；(Ⅲ)证明见解析，，

【解析】

(Ⅰ)根据题意直接写出答案.

(Ⅱ)讨论当为偶数时，最大为，当为奇数时，最大为，得到答案.

(Ⅲ) 讨论当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故，当为偶数时，

根据对应关系得到，再计算，，得到答案.

(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为：，，，，.

(Ⅱ)当为偶数时，时，最大为；

当为奇数时，时，最大为；

综上所述：为偶数，最大为，为奇数时，最大为.

(Ⅲ)当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故；

当为偶数时，设是每个数均为偶数的“正整数分拆”，

则它至少对应了和的均为奇数的“正整数分拆”，

故.

综上所述：.

当时，偶数“正整数分拆”为，奇数“正整数分拆”为，；

当时，偶数“正整数分拆”为，，奇数“正整数分拆”为，

故；

当时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为的奇数拆分外，至少多出一项各项均为的“正整数分拆”，故.

综上所述：使成立的为：或.