题目内容
如图，矩形ABCD中，|AB|＝2
，|BC|＝2．E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，分别以HF，EG所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，已知
＝λ
，
＝λ
，其中0＜λ＜1．
（1）求证：直线ER与GR′的交点M在椭圆Γ：
＋y2＝1上；
（2）若点N是直线l：y＝x＋2上且不在坐标轴上的任意一点，F1、F2分别为椭圆Γ的左、右焦点，直线NF1和NF2与椭圆Γ的交点分别为P、Q和S、T．是否存在点N，使得直线OP、OQ、OS、OT的斜率kOP、kOQ、kOS、kOT满足kOP＋kOQ＋kOS＋kOT＝0？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）见解析（2）满足条件的点N存在，其坐标为
解析试题分析：根据条件，可用参数
表示点
的坐标，两点式写出直线
的方程，并求出它们的交点
的坐标，消去参数即可得证.（2）假设存在点
在直线
上，使
,
设
，
，
,
，
直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，可写出两直线的方程，并分别与椭圆方程联立组成方程级，利用一元二次方程根与系数的关系，结合条件探究与的关系，从而确定关于
的方程的根的存在性，也就是点的存在性.
试题解析：（1）由已知，得F(，0)，C(，1)．
由＝λ，＝λ，得R(λ，0)，R′(，1－λ)．
又E(0，－1)，G(0，1)，则
直线ER的方程为y＝
x－1， ①
直线GR′的方程为y＝－
x＋1． ②
由①②，得M(
，
)．
∵
＋()2＝
＝
＝1，
∴直线ER与GR′的交点M在椭圆Γ：＋y2＝1上． 5分
（2）假设满足条件的点N(x0，y0)存在，则
直线NF1的方程为y＝k1(x＋1)，其中k1＝
，
直线NF2的方程为y＝k2(x－1)，其中k2＝
．
由消去y并化简，得(2k12＋1)x2＋4k12x＋2k12－2＝0．
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－
，x1x2＝
．
∵OP，OQ的斜率存在，∴x1≠0，x2≠0，∴k12≠1．
∴kOP＋kOQ＝
＋
＝
＋
＝2k1＋k1·
＝k1(2－
)＝－
．
同理可得kOS＋kOT＝－
．
∴kOP＋kOQ＋kOS＋kOT＝－2(
＋
)＝－2·
＝－
．
∵kOP＋kOQ＋kOS＋kOT＝0，∴－＝0，即(k1＋k2)(k1k2－1)＝0．
由点N不在坐标轴上，知k1＋k2≠0，
∴k1k2＝1，即·＝1． ③
又y0＝x0＋2，
期末冲刺100分创新金卷完全试卷系列答案
的中心在坐标原点O，左顶点
，离心率
，
为右焦点，过焦点
、
两点（不同于点
）．
的面积
时，求直线PQ的方程；
的范围．
（其中
）.
到双曲线上的点的最近距离为
，求
的值；
，作倾斜角为
的直线
交双曲线于
、
两点，其中
，
是双曲线的右焦点.求△
的面积
.
的右焦点为F2（1，0），点
在椭圆上.
在圆
上，M在第一象限，过M作圆
、
，动点
满足：
，且
的方程；
的切线
与轨迹
.
过点
，离心率为
.
的方程；
且斜率为
的直线被椭圆所截得线段的中点坐标.
的椭圆C：
的一个焦点为F1(0,3)，M(x,4)(x＞0)为椭圆C上一点，△MOF1的面积为
.
的焦点为焦点，且过
点的双曲线的标准方程.
上的点到其两焦点距离之和为
，且过点
． 
为坐标原点，斜率为
的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于点
，
，若
，求△
的面积.