题目内容

（2013•杨浦区一模）已知数列{an}是各项均为正数且公比不等于1的等比数列．对于函数y=f（x），若数列{lnf（an）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的如下函数：
①f(x)=
1
x
，
②f（x）=x2，
③f（x）=ex，
④f(x)=
x
，
则为“保比差数列函数”的所有序号为（　　）
分析：设数列{an}的公比为q（q≠1），利用保比差数列函数的定义，验证数列{lnf（an）}为等差数列，即可得到结论．
解答：解：设数列{an}的公比为q（q≠1）
①由题意，lnf（an）=ln
1
an
，∴lnf（an+1）-lnf（an）=ln
1
an+1
-ln
1
an
=ln
an
an+1
=-lnq是常数，∴数列{lnf（an）}为等差数列，满足题意；
②由题意，lnf（an）=lnan2，∴lnf（an+1）-lnf（an）=lnan+12-lnan2=lnq2=2lnq是常数，∴数列{lnf（an）}为等差数列，满足题意；
③由题意，lnf（an）=lnean，∴lnf（an+1）-lnf（an）=lnean+1-lnean=an+1-an不是常数，∴数列{lnf（an）}不为等差数列，不满足题意；
④由题意，lnf（an）=ln
an
，∴lnf（an+1）-lnf（an）=ln
an+1
-ln
an
=
1
2
lnq是常数，∴数列{lnf（an）}为等差数列，满足题意；
综上，为“保比差数列函数”的所有序号为①②④
故选C．
点评：本题考查新定义，考查对数的运算性质，考查等差数列的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
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x2
4
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2
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1
k1
+
1
k2
+
1
k3
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0
0
．
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1-i
i
 （i为虚数单位），则|z|=
2
2
．

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