Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-＜φ＜）一个周期的图象如图所示．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若f（α）+f（α-）=，且α为△ABC的一个内角，求sinα+cosα的值．

Answer 1

解：（1）从图知，函数的最大值为1，则A=1．
函数f（x）的周期为T=4×（+）=π．
而T=，则ω=2．又x=-时，y=0，
∴sin[2×（-）+φ]=0．
而-＜φ＜，则φ=，
∴函数f（x）的表达式为f（x）=sin（2x+）．

（2）由f（α）+f（α-）=，得
sin（2α+）+sin（2α-）=，
即2sin2αcos=，∴2sinαcosα=．
∴（sinα+cosα）²=1+=．
∵2sinαcosα=＞0，α为△ABC的内角，
∴sinα＞0，cosα＞0，即sinα+cosα＞0．∴sinα+cosα=．
分析：（1）根据函数的图象，求出A、T，求出ω，函数x=-时，y=0，结合-＜φ＜求出φ，然后求函数f（x）的表达式；
（2）利用f（α）+f（α-）=，化简出（sinα+cosα）²，2sinαcosα=＞0且α为△ABC的一个内角，确定sinα＞0，cosα＞0，求sinα+cosα的值．
点评：本题是基础题，考查函数解析式的求法，根据三角函数式，确定函数的取值范围，是解题的难点，考查学生视图能力，计算能力．