Question

【题目】已知函数f（x）是定义在区间[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若对于任意的m、n∈[﹣1，1]有 ．
（1）判断并证明函数的单调性；
（2）解不等式 ；
（3）若f（x）≤﹣2at+2对于任意的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）函数f（x）在区间[﹣1，1]上是增函数：

证明：由题意可知，对于任意的m、n∈[﹣1，1]有 ，

可设x1=m，x2=﹣n，则 ，即 ，

当x1＞x2时，f（x1）＞f（x2），

∴函数f（x）在区间[﹣1，1]上是增函数；

当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2），

∴函数f（x）在区间[﹣1，1]上是增函数；

综上：函数f（x）在区间[﹣1，1]上是增函数

（2）由（1）知函数f（x）在区间[﹣1，1]上是增函数，

又由 ，

得 ，解得 ，

∴不等式 的解集为

（3）∵函数f（x）在区间[﹣1，1]上是增函数，且f（1）=1，

要使得对于任意的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]都有f（x）≤﹣2at+2恒成立，

只需对任意的a∈[﹣1，1]时﹣2at+2≥1，即﹣2at+1≥0恒成立，

令y=﹣2at+1，此时y可以看做a的一次函数，且在a∈[﹣1，1]时y≥0恒成立，

因此只需要 ，解得 ，

∴实数t的取值范围为：

【解析】（1）设x1=m，x2=﹣n，由已知可得 ，分x1＞x2 ， 及x1＜x2两种情况可知f（x1）与f（x2）的大小，借助单调性的定义可得结论；（2）利用函数单调性可得去掉不等式中的符号“f”，转化为具体不等式，再考虑到函数定义域可得不等式组，解出即可；（3）要使得对于任意的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]都有f（x）≤﹣2at+2恒成立，只需对任意的a∈[﹣1，1]时﹣2at+2≥f（x）max ， 整理后化为关于a的一次函数可得不等式组；
【考点精析】解答此题的关键在于理解奇偶性与单调性的综合的相关知识，掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．