Question

15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2ccosA=2b-a．
（1）求角C的大小；
（2）若b=2a，△ABC的面积为2$\sqrt{3}$sin²A，求a，c的值．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用正弦定理化简，整理后根据sinA不为0求出cosC的值，即可确定出角C的大小；
（2）利用三角形面积公式列出关系式，把b，sinC以及已知面积代入求出a的值，利用余弦定理求出c的值．

解答 解：（1）由2ccosA=2b-a，利用正弦定理化简得：2sinCcosA=2sinB-sinA，
即2sinCcosA=2sin（A+C）-sinA，
整理得：2sinCcosA=2sinAcosC+2cosAsinC-sinA，即sinA（2cosC-1）=0，
∵sinA≠0，
∴2cosC-1=0，即cosC=$\frac{1}{2}$，
则C=$\frac{π}{3}$；
（2）∵b=2a，C=$\frac{π}{3}$，△ABC的面积为2$\sqrt{3}$sin²A=$\frac{1}{2}$absinC，所以sinA=$\frac{a}{2}$，所以$\frac{a}{sinA}$=2，由正弦定理得到$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$=2，所以c=2sinC=$\sqrt{3}$，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即3=a²+4a²-2a²，解得a=1．

点评 本题考查了正弦、余弦定理以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．