Question

在各项均为负数的数列{a_n}中，已知2a_n=3a_n+1，且a2a5=

8

27

，
（1）求证：{a_n}是等比数列，并求出通项公式
（2）-

16

81

是这个数列的项吗？，如果是，是第几项？

Answer 1

分析：（1）根据题意，由2a_n=3a_n+1，可得

an+1

an

=

2

3

，由等比数列的定义，可得{a_n}是等比数列，同时可得{a_n}的公比，又由a2a5=

8

27

，可得a₁的值，由等比数列的通项公式，可得答案，
（2）由（1）的结论，令-

16

81

=-(

2

3

)n-2，解可得n=6，为整数，可得结论．

解答：解：（1）∵2a_n=3a_n+1，
∴

an+1

an

=

2

3

，故{a_n}是等比数列，且其公比为

2

3

，
又a1qa1q4=

8

27

得a12=

9

4

，(a1＜0)即a1=-

3

2

所以，an=(-

3

2

)(

2

3

)n-1=-(

2

3

)n-2；
（2）由（1）的结论，令-

16

81

=-(

2

3

)n-2
得 (

2

3

)4=(

2

3

)n-2
由指数函数性质知4=n-2，即n=6，为正整数，
则-

16

81

是该数列的第6项．

点评：本题考查等比数列的判定与性质，解（1）时，注意根据题干条件“各项均为负数”，对求得的a₁进行取舍．