Question

（05年上海卷）（16分）

已知抛物线的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5.过A作AB垂直于轴，垂足为B，OB的中点为M.

（1）求抛物线方程；

（2）过M作，垂足为N，求点N的坐标；

（3）以M为圆心，MB为半径作圆M，当是轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系.

Answer 1

解析：(1) 抛物线y²=2px的准线为x=-,于是4+=5, ∴p=2.

   ∴抛物线方程为y²=4x.

   (2)∵点A是坐标是(4,4), 由题意得B(0,4),M(0,2),

   又∵F(1,0), ∴k_FA=;MN⊥FA, ∴k_MN=-,

   则FA的方程为y=(x-1),MN的方程为y-2=-x,解方程组得x=,y=,

   ∴N的坐标(,).

(1)    由题意得, ,圆M.的圆心是点(0,2), 半径为2,

当m=4时, 直线AK的方程为x=4,此时,直线AK与圆M相离.

当m≠4时, 直线AK的方程为y=(x-m),即为4x-(4-m)y-4m=0,

圆心M(0,2)到直线AK的距离d=,令d>2,解得m>1

∴当m>1时, AK与圆M相离;

  当m=1时, AK与圆M相切;

  当m<1时, AK与圆M相交.