题目内容

如图，实线部分DE，DF，EF是某风景区设计的游客观光路线平面图，其中曲线部分EF是以AB为直径的半圆上的一段弧，点O为圆心，△ABD是以AB为斜边的等腰直角三角形，其中AB=2千米， $数学公式$ ．若游客在每条路线上游览的“留恋度”均与相应的线段或弧的长度成正比，且“留恋度”与路线DE，DF的长度的比例系数为2，与路线EF的长度的比例系数为1，假定该风景区整体的“留恋度”y是游客游览所有路线“留恋度”的和．
（I）试将y表示为x的函数；
（II）试确定当x取何值时，该风景区整体的“留恋度”最佳？

解：（Ⅰ）因为OA= $\text{[math]}$ =1，∠EOA=∠FOB=2x，所以弧AE等于弧BF的长等于2x，
又半圆周长为π，所以弧EF的长为π-4x，连结OD，则由OD=OE=OF=1， $\text{[math]}$ ，
所以DE=DF= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
又因为在每条路线上游览的“留恋度”均与相应的线段或弧的长度成正比，且“留恋度”与路线DE，DF的长度的比例系数为2，与路线EF的长度的比例系数为1，
所以，y= $\text{[math]}$ （0＜x＜ $\text{[math]}$ ）；
（Ⅱ）由y= $\text{[math]}$ （0＜x＜ $\text{[math]}$ ），
得： $\text{[math]}$ ，
由y^′=0，得： $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ，解得x= $\text{[math]}$ ．
又当x∈ $\text{[math]}$ 时，y^′＞0，所以此时y在 $\text{[math]}$ 上单调递增，
当x∈ $\text{[math]}$ 时，y^′＜0，所以此时y在 $\text{[math]}$ 上单调递减，
故当x= $\text{[math]}$ 时，函数y有最大值，
答：当x= $\text{[math]}$ 时，该风景区整体的“留恋度”最佳．
分析：（Ⅰ）由弧长公式求出弧AE与BF的长度，由圆的周长公式求出半圆的长度，则弧EF的长度可求，连结OD后，在三角形ODE和三角形ODF中，利用余弦定理可求DE和DF的长度，然后根据游客在每条路线上游览的“留恋度”均与相应的线段或弧的长度成正比，且“留恋度”与路线DE，DF的长度的比例系数为2，与路线EF的长度的比例系数为1，该风景区整体的“留恋度”y是游客游览所有路线“留恋度”的和将y表示为x的函数；
（Ⅱ）求出（Ⅰ）中函数的导函数，解出导函数的零点，由零点把定义域分段，根据导函数的符合判断原函数在各段内的单调性，从而得到极值点，确定出当x取何值时，该风景区整体的“留恋度”最佳．
点评：本题是一个数学建模问题，解答的关键是读懂题意，正确列出函数表达式，然后利用导数求函数在开区间内的极值，进一步得到函数在闭区间内的最值．此题属中档题．