Question

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，点E在CC₁上且C₁E=3EC．
（1）求异面直线A₁D与B₁B所成角的正切值；
（2）证明：A₁C⊥平面BED；
（3）求二面角A₁-DE-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由于AA₁∥BB₁，∠AA₁D是异面直线A₁D与B₁B所成角得到异面直线A₁D与B₁B所成角的正切值．
（2）根据空间直角坐标系个点坐标，即向量垂直计算，可得A₁C⊥BD，A₁C⊥DE又DB∩DE=D即可得得证．
（3）由（2）知向量

A1C

为平面DBE的一个法向量，根据向量坐标计算，即可得到二面角A₁-DE-B的余弦值．

解答：解：如图，建立空间直角坐标系D-xyz．
则B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），A₁（2，0，4）．

DE

=(0，2，1)，

DB

=(2，2，0)，

A1C

=(-2，2，-4)，

DA1

=(2，0，4)
（1）解：
∵AA₁∥BB₁
∴∠AA₁D是异面直线A₁D与B₁B所成角
∵在Rt△AA₁D中，A₁A=4，AD=2
∴tan∠AA1D=

1

2

即异面直线A₁D与B₁B所成角的正切值为

1

2

（2）证明：
∵

A1C

•

DB

=-4+4+0=0，

A1C

•

DE

=0+4-4=0，
∴A₁C⊥BD，A₁C⊥DE
又DB∩DE=D
∴A₁C⊥平面DBE
（3）解：
由（2）知向量

A1C

为平面DBE的一个法向量
设平面DA₁E的法向量n=（x，y，z）
由n⊥

DE

，n⊥

DA1

得2y+z=0，2x+4z=0
令z=-2，得x=4，y=1，
∴n=（4，1，-2）cos?

n

，

A1C

?=

n • A1C

| n || A1C |

=

14

42

又二面角A₁-DE-B为锐角
∴二面角A₁-DE-B的余弦值为

14

42

点评：此题主要考查异面直线的角度及余弦值计算．