题目内容

己知f（x）为定义域为 R 内的减函数，且 $数学公式$ ，则实数a的取值范围为________．

[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
分析：根据对数函数在区间[1，+∞）是减函数得a∈（0，1），由一次函数f（x）=（2a-1）x+4a在区间（-∞，1）是减函数，得到a $\text{[math]}$ ，再根据不等式（2a-1）x+4a≥log_ax在x=1时成立解出a $\text{[math]}$ ，最后将各种情况取交集即得实数a的取值范围．
解答：∵f（x）为定义域为R内的减函数，
∴当x∈[1，+∞）时，f（x）=log_ax是减函数，可得a∈（0，1）
当x∈（-∞，1）时，f（x）=（2a-1）x+4a是减函数，得2a-1＜0，解之得a $\text{[math]}$
因此，a的取值范围为（0， $\text{[math]}$ ）
又∵（2a-1）x+4a≥log_ax在x=1时成立
∴（2a-1）×1+4a≥log_a1=0，解之得a $\text{[math]}$
综上所述，满足条件的实数a的取值范围为[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
故答案为：[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
点评：本题给出分段函数，在已知函数在R上为减函数的情况下求参数a的取值范围，着重考查了基本实数函数的单调性和分段函数单调性的处理等知识，属于中档题．