题目内容
【题目】在平面几何中，研究三角形内任意一点与三边的关系时，有真命题：边长为
的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值
。类比上述命题，请写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出证明。
【答案】在一个棱长为
的正四面体内任意一点到各个面的距离之和是定值
，证明见解析。
【解析】
通过类比，即可得到关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，利用几何性质即可证明。
类比边长为的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值
，得到正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题：在一个棱长为的正四面体内任意一点到各个面的距离之和是定值，
如图：
设
为正四面体
内任意一点，正四面体的棱长为，到面
，面
，面
，面
的距离分别为
，由于正四面体四个面的面积相等，则有：
，
由于
，
，所以
，
所以棱长为的正四面体内任意一点到各个面的距离之和为
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