题目内容
如图，已知四棱锥的P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD且AP=AB=3，AD=
| 3 |
（Ⅰ）点F为线段PB上一点，PF：FB=2，求证：CF∥面ADP；
（Ⅱ）求二面角F-AC-B的余弦值．
分析：（I）过点C做AB的垂线CE，E为垂足，我们易求出AE的值，进而A为原点建立空间直角坐标系，求出直线CF的方向向量和平面ADP的法向量，根据两个向量的数量积为0，得到两个向量垂直，进而得到CF∥面ADP；
（Ⅱ）分别求出平面FAC和平面ABC的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角F-AC-B的余弦值．
（Ⅱ）分别求出平面FAC和平面ABC的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角F-AC-B的余弦值．
解答：证明：（I）过点C做AB的垂线CE，E为垂足
∵AB⊥AD
∴AD∥CE
又∵AB∥CD
∴四边形ABCD为平行四边形
∴CE=AD=
在Rt△BCE中，CE=BEtan60°
∴BE=1
∴AE=2…3分
如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，3，0），P（0，0，3），C（
，2，0）
∵PF：FB=2：1
∴F（0，2，1）
∵
=（-
，0，1），
=（0，3，0）
又∵
•
=0，
∴
⊥
，
∵AB⊥平面ADP，即平面ADP的法向量为
，
故CF∥平面ADP…6分
（II）设平面AFC的法向量为
=（x，y，z），则
⊥
，
⊥
，
即
•
=0，
•
=0，
即
则
=（1，-
，
）
又AP⊥平面ACB，故
=（0，0，3）为平面ACB的一个法向量，
∴二面角F-AC-B的余弦值为
=
=
…12分
∵AB⊥AD
∴AD∥CE
又∵AB∥CD
∴四边形ABCD为平行四边形
∴CE=AD=
| 3 |
在Rt△BCE中，CE=BEtan60°
∴BE=1
∴AE=2…3分
如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，3，0），P（0，0，3），C（
| 3 |
∵PF：FB=2：1
∴F（0，2，1）
∵
| CF |
| 3 |
| AB |
又∵
| CF |
| AB |
∴
| CF |
| AB |
∵AB⊥平面ADP，即平面ADP的法向量为
| AB |
故CF∥平面ADP…6分
（II）设平面AFC的法向量为
| n |
| n |
| AC |
| n |
| FC |
即
| n |
| AC |
| n |
| FC |
即
|
则
| n |
| ||
| 2 |
| 3 |
又AP⊥平面ACB，故
| AP |
∴二面角F-AC-B的余弦值为
|
| ||||
|
|
3
| ||||
3
|
2
| ||
| 19 |
点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及其求法，直线与平面平行的判定，其中（I）的关键是证得直线CF的方向向量和平面ADP的法向量垂直，（II）的发是求出平面FAC和平面ABC的法向量，将二面角问题转化为向量夹角问题．
练习册系列答案
相关题目
如图，已知四棱锥P--ABC的底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e为PC的中点，F为AD的中点．
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=2，M是PB的中点，则点P到平面ACM的距离为
如图，已知四棱锥的P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD且AP=AB=3，
，∠ABC=60°．
，∠ABC=60°．