题目内容

如图，已知四棱锥的P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD且AP=AB=3，
AD= $数学公式$ ，∠ABC=60°．
（Ⅰ）点F为线段PB上一点，PF：FB=2，求证：CF∥面ADP；
（Ⅱ）求二面角F-AC-B的余弦值．

证明：（I）过点C做AB的垂线CE，E为垂足
∵AB⊥AD
∴AD∥CE
又∵AB∥CD
∴四边形ABCD为平行四边形
∴CE=AD= $\text{[math]}$
在Rt△BCE中，CE=BEtan60°
∴BE=1
∴AE=2…3分
如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，3，0），P（0，0，3），C（ $\text{[math]}$ ，2，0）
∵PF：FB=2：1
∴F（0，2，1）
∵ $\text{[math]}$ =（- $\text{[math]}$ ，0，1）， $\text{[math]}$ =（0，3，0）
又∵ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，
∴ $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ，
∵AB⊥平面ADP，即平面ADP的法向量为 $\text{[math]}$ ，
故CF∥平面ADP…6分
（II）设平面AFC的法向量为 $\text{[math]}$ =（x，y，z），则 $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0， $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，
即 $\text{[math]}$
则 $\text{[math]}$ =（1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
又AP⊥平面ACB，故 $\text{[math]}$ =（0，0，3）为平面ACB的一个法向量，
∴二面角F-AC-B的余弦值为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …12分
分析：（I）过点C做AB的垂线CE，E为垂足，我们易求出AE的值，进而A为原点建立空间直角坐标系，求出直线CF的方向向量和平面ADP的法向量，根据两个向量的数量积为0，得到两个向量垂直，进而得到CF∥面ADP；
（Ⅱ）分别求出平面FAC和平面ABC的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角F-AC-B的余弦值．
点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及其求法，直线与平面平行的判定，其中（I）的关键是证得直线CF的方向向量和平面ADP的法向量垂直，（II）的发是求出平面FAC和平面ABC的法向量，将二面角问题转化为向量夹角问题．