Question

【题目】已知f（x）= ，x∈（﹣2，2）
（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；
（2）求证：函数f（x）在（﹣2，2）上是增函数；
（3）若f（2+a）+f（1﹣2a）＞0，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）= 是定义域（﹣2，2）上的奇函数，

理由如下，

任取x∈（﹣2，2），有f（﹣x）= =﹣ =﹣f（x），

所以f（x）是定义域（﹣2，2）上的奇函数

（2）证明：设x1，x2为区间（﹣2，2）上的任意两个值，

且x1＜x2，则

= ；

因为﹣2＜x1＜x2＜2，

所以 x2﹣x1＞0，x1x2﹣4＜0，

即f（x1）﹣f（x2）＜0；

所以函数f（x）在（﹣2，2）上是增函数

（3）解：因为f（x）为奇函数，

所以由f（2+a）+f（1﹣2a）＞0，

得f（2+a）＞﹣f（1﹣2a）=f（2a﹣1），

又因为函数f（x）在（﹣2，2）上是增函数，

所以 ；

解得 ，

即实数a的取值范围是（﹣ ，0）

【解析】（1）利用奇偶性的定义判断函数f（x）是定义域上的奇函数；（2）根据单调性的定义证明f（x）是（﹣2，2）上的增函数；（3）根据f（x）为奇函数且在（﹣2，2）上是增函数，转化不等式f（2+a）+f（1﹣2a）＞0，求出a的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的判断方法的相关知识，掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较，以及对函数的奇偶性的理解，了解偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．