Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n-n，（n∈N^*）
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃的值；
（Ⅱ）证明{a_n+1}是等比数列，并求a_n；
（Ⅲ）若b_n=（2n+1）a_n+2n+1，数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析：（I）在S_n=2a_n-n中，把n=1，n=2，n=3分别代入递推公式可求a₁，a₂，a₃
（II）由S_n=2a_n-n可得S_n-1=2a_n-1-（n-1），两式相减可整理可得an+1=2(an-1+1)，可证{a_n+1}是等比数列
（III）由b_n=（2n+1）a_n+2n+1可得b_n=（2n+1）•2ⁿ，利用错位相减可求

解答：解：（I）∵S_n=2a_n-n，
当n=1时，由S₁=2a₁-1，可得a₁=1
当n=2时，由S₂=a₁+a₂=2a₂-2，可得a₂=3
当n=3时，由S₃=a₁+a₂+a₃=2a₃-3，可得a₃=7
证明：（II）∵S_n=2a_n-n
∴S_n-1=2a_n-1-（n-1）
两式相减可得，a_n=2a_n-1+1，a₁+1=2
∴an+1=2(an-1+1)
所以{a_n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列
∴a_n=2ⁿ-1
解：（III）∵b_n=（2n+1）a_n+2n+1
∴b_n=（2n+1）2^{n
∴T_n=3•2+5•22+…+（2n+1）•2n
2T_n=3•22+5•23+…（2n-1）•2n+（2n+1）•2n+1}
两式相减可得，-T_n=3•2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
=6+2×

4(1-2n-1)

1-2

-(2n+1)•2n+1=2ⁿ⁺¹（1-2n）-2
∴T_n=2+（2n-1）2ⁿ⁺¹

点评：本题主要考查了由数列的递推公式求解数列的项及通项公式，等比数列的证明及通项公式的应用，错位相减求数列的和是数列求和中的重点和难点．