Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且Sn=n+

3

2

an（n∈N^*）．数列{b_n}是等差数列，且b₂=a₂，b₂₀=a₄．
（1）求证：数列{a_n-1}是等比数列；
（2）求数列{

bn

an-1

}的前n项和T_n；
（3）若不等式Tn+

-n2+11n-6

2×3n

＜lo

g

a

x（a＞0且a≠1）对一切n∈N^*恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由 Sn=n+

3

2

an，知 Sn-1=n-1+

3

2

an-1，两式相减得an=1+

3

2

an-

3

2

an-1，由此能够导出数列{a_n-1}是公比是3，首项为-3的等比数列．
（2）先求得到a_n-1=-3ⁿ．由{b_n}是等差数列，求得b_n=-4n．Tn=

b1

a1-1

+

b2

a2-1

++

bn-1

an-1-1

+

bn

an-1

=4[

1

31

+

2

32

++

(n-1)

3n-1

+

n

3n

]再由错位相减法能够得到数列{

bn

an-1

}的前n项和T_n；
（3）令Pn=Tn+

-n2+11n-6

2×3n

，证明当n＞5时P_n+1-P_n＞0此时P_n单调递增，所以当n＞5时，P_n＜3，又因为P₁=3-1=2，P2=3-

1

9

＜3，P₃=P₄=3，P5=P6=3-

1

243

＜3，所以当n∈N^*时，P_n的最大值为3，从而有log_ax＞3．故可解．

解答：解：（1）由Sn=n+

3

2

an，①当n≥2时，Sn-1=n-1+

3

2

an-1，②
两式相减得an=1+

3

2

an-

3

2

an-1，即a_n=3a_n-1-2，（1分）
当n≥2时，

an-1

an-1-1

=

3an-1-2-1

an-1-1

=3为定值，（2分）
所以数列{a_n-1}是等比数列，公比是3，（3分）
（2）由Sn=n+

3

2

an，令n=1，得a₁=-2． 所以数列{a_n-1}是等比数列，公比是3，首项为-3．
∴a_n-1=-3×3^n-1，即a_n-1=-3ⁿ．（4分）∴b₂=-8，b₂₀=-80．
由{b_n}是等差数列，求得b_n=-4n（5分）
∵Tn=

b1

a1-1

+

b2

a2-1

+…+

bn-1

an-1-1

+

bn

an-1

=4[

1

31

+

2

32

+…+

(n-1)

3n-1

+

n

3n

]，
而

1

3

Tn=4[

1

32

+

2

33

+…+

(n-1)

3n

+

n

3n+1

]，
相减得

2

3

Tn=4(

1

31

+

1

32

+…+

1

3n

-

n

3n+1

)，即Tn=2(

1

30

+

1

31

+…+

1

3n-1

)-

2n

3n

，
则 Tn=2

1-( 1 3 )n

1- 1 3

-

2n

3n

=3-

2n+3

3n

．（8分）
（3）令Pn=Tn+

-n2+11n-6

2×3n

则Pn=3-

2n+3

3n

+

-n2+11n-6

2×3n

=3+

-n2+7n-12

2×3n

（9分）Pn+1=3+

-n2+5n-6

2×3n+1

∴Pn+1-Pn=

-n2+5n-6

2×3n+1

-

-n2+7n-12

2×3n

=

2n2-16n+30

2×3n+1

=

(n-3)(n-5)

3n+1

（10分）
∴当n＞5时P_n+1-P_n＞0此时P_n单调递增；（11分）
∵当n＞5时，-n²+7n-12＜0从而3+

-n2+7n-12

2×3n

＜3∴当n＞5时，P_n＜3
∵P₁=3-1=2，P2=3-

1

9

＜3，P₃=P₄=3，P5=P6=3-

1

243

＜3
∴当n∈N^*时，P_n的最大值为3（13分）
∵不等式Tn+

-n2+11n-6

2×3n

＜lo

g

a

x（a＞0且a≠1）对一切n∈N^*恒成立∴log_ax＞3．（14分）
故当a＞1时，x≥a³；当0＜a＜1时，0＜x≤a³．（16分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用错位相减法进行解题．