Question

设数列{a_n}是公比大于1的等比数列，S_n为其前n项和，已知S₃=7且a₁+3、3a₂、a₃+4成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=lna_2n+1（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）求a₂+a₅+a₈+…+a_3n-1+…+a_3n+8的表达式．

Answer 1

分析：（1）根据题意，列出关于{a_n}的首项与公差的方程组，求出首项、公差代入通项公式即得数列{a_n}的通项公式．
（2）将a_2n+1代入b_n，利用等差数列的定义判断出数列{b_n}是等差数列，利用等差数列的前n项和公式求出T_n．
（3）利用等差数列的性质：间隔相同的项取出的项仍为等差数列，利用等差数列的前n项和公式求出和．

解答：解：（1）

a1+a2+a3=7 a1+3+a3+4=6a2

解得a₂=2
设公比为q则

a2

q

+a2+a2q=7
解得q=2或q=

1

2

（舍去），
所以a₁=1，q=2
∴a_n=2^n-1
（2）b_n=ln2²ⁿ=2nln2
∴b_n+1-b_n=2ln2
∴数列{b_n}是公差为2ln2的等差数列
∴Tn=

n(2ln2+2nln2)

2

=n(n+1)ln2
（3）a₂，a₅，a₈…a_3n+8是首项为a₂，公比为8，项数为n+3项的等比数列
∴a₂+a₅+a₈+…+a_3n+8=

2(1-8n+3)

1-8

=

2

7

(8n+3-1)

点评：解决等差数列及等比数列的问题时，一般的方法是利用通项公式及前n项和公式得到关于首项、公差、公比的关系．