题目内容
注:此题选A题考生做①②小题,选B题考生做①②③小题.
已知圆C:,直线.
①求证:对任意,直线与圆C总有两个不同的交点;
②当m=1时,直线与圆C交于M、N两点,求弦长|MN|;
③设与圆C交于A、B两点,若,求的倾斜角.
①见解析;②;③
【解析】
试题分析:①法一:证明用点到直线的距离恒小于圆的半径,(此法计算量较大,故通常不选用此方法)。法二:证直线恒过定点,且此顶点在圆内。②根据圆心和弦中点的连线垂直平分弦,应先求圆心到直线的距离再用勾股定理求弦长。③根据弦长可求圆心到直线的距离,即可求出直线的斜率,根据斜率可求得倾斜角。
试题解析:【解析】
①∵直线恒过点,又∵点在圆C:
内,∴对,直线与圆C总有两个不同的交点。(A:7分,B:5分)
②当m=1时,直线;圆心C(0,1)到直线的距离等于,又∵圆C的半径为,∴弦长|MN| ;(A:14分,B:9分)
③∵,∴,又∵圆C的半径为,∴圆心C(0,1)到直线的距离等于,∴,∴,∴,∴直线的倾斜角为。(B:14分)
考点:直线过定点问题,点到直线的距离公式,圆的弦长。
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