Question

16．已知函数f（x）=x²+x+q，集合A={x|f（x）=0，x∈R}，B={x|f（f（x））=0，x∈R}．
（1）若q=-2，试求集合A，B；
（2）若B只含有一个元素，试求q的值．

Answer 1

分析 （1）x²+x-2=0，可得A；x²+x-2=1或-2，可得B．
（2）由根据方程f（x）=0和f（f（x））=0之间的关系求出集合A，B满足条件的集合关系，利用B为单元素集，建立方程关系即可得到结论．

解答 解：（1）若q=-2，x²+x-2=0，∴x=1或-2，∴A={1，-2}；
x²+x-2=1，可得x=$\frac{-1±\sqrt{13}}{2}$，x²+x-2=-2，可得x=0或-1，
∴B={$\frac{-1±\sqrt{13}}{2}$，0，-1}；
（2）∵集合A={x|f（x）=0，}，B={x|f（f（x））=0}
∴A⊆B
∴B={x|f（f（x）=0}={x|f²（x）+f（x）+q=0}={x|[（f（x）+$\frac{1}{2}$]²+q-$\frac{1}{4}$}
∵B为单元集，∴f（x）=-$\frac{1}{2}$，
∴B={q-$\frac{1}{4}$}，
A={x|f（x）=0}={x|x²+x+q=0，x∈R}，
当A=∅时，B=∅不符题意，故A≠∅，
当A={x|x=-$\frac{1}{2}$}时，△=1-4q=0，解得：q=$\frac{1}{4}$，
∴f（f（x））=（x²+x+$\frac{1}{4}$）²+（x²+x+$\frac{1}{4}$）+$\frac{1}{4}$=0，
∵△=1-4×$\frac{1}{4}$=0
∴x²+x+$\frac{3}{4}$=0，方程无解，不符B为单元集，故A≠{x|x=-$\frac{1}{2}$}．
∴方程x²+x+q=0有2个不相等的实数解，
∴A={$\frac{-1-\sqrt{1-4q}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{1-4q}}{2}$}
∵A⊆B
∴当$\frac{-1-\sqrt{1-4q}}{2}$∈B时有$\frac{-1-\sqrt{1-4q}}{2}$=q-$\frac{1}{4}$，解得：q₁=$\frac{-3+2\sqrt{3}}{4}$或q₂=$\frac{-3-2\sqrt{3}}{4}$（舍去）．
同理当$\frac{-1+\sqrt{1-4q}}{2}$∈B时有：q₁=$\frac{-3+2\sqrt{3}}{4}$或q₂=$\frac{-3-2\sqrt{3}}{4}$（舍去）．
综上，q₁=$\frac{-3+2\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查集合关系的应用，利用方程之间的关系是解决本题的关键，涉及的知识点较多，综合性较强，难度较大．