题目内容

如图,AB为圆O的直径,点C为圆O上异于A、B的一点，PA⊥平面ABC，点A在PB、PC上的射影分别为点E、F.

⑴求证：PB⊥平面AFE；

⑵若AB=4，PA=3，BC=2，求三棱锥C-PAB的体积与此三棱锥的外接球（即点P、A、B、C都在此球面上）的体积之比.

（1）见解析（2）

解析:

⑴

，又AB是圆O的直径,

所以BC⊥面PAC, 又因AF面PAC,

所以AF⊥BC, 又因AF⊥PC,

所以AF⊥面PBC, 又因PB面PBC,

所以PB⊥AF, 又因PB⊥AE, 所以PB⊥面AFE.

⑵，

取PB的中点M，由直角三角形性质得，PM=AM=BM=CM，故三棱锥的外接球球心为M，其半径为，所以，体积之比为

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（Ⅰ）求证：BD⊥平面ADG；
（Ⅱ）求平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．

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