题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求函数在处的切线方程;
(2)是否存在非负整数,使得函数是单调函数,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由;
(3)已知,若存在,使得当时,的最小值是,求实数的取值范围.(注:自然对数的底数)
【答案】(1)(2)存在,的值是0,1,2;(3)
【解析】
(1)当时求出函数的导数,计算及,利用点斜式,即可求出切线方程。
(2)求出函数的导数,要使函数是单调函数即是使或恒成立,对分类讨论,即可求出非负整数的值。
(3)通过讨论的范围,根据函数的单调性求出的最小值,从而确定实数的取值范围。
解:(1)的定义域为.
当时,,.∴.
所以,函数在处的切线方程为
即
(2)∵,∴,.
当时,.∴是单调减函数.符合
当时,若是单调增函数,则,
即恒成立,这不可能;
若是单调减函数,则,
即恒成立,令,其开口方向向上,对称轴方程为
,,故,∴
又,.
综上,满足条件的非负整数的值是0,1,2
(3)∵
∴
∴
①当0时,.
当时,,在上为减函数;
当时,,在上为增函数.
所以当时,,不符合题意.
②当时,.
(i)当,即时,当变化时,,的变化情况如下:
1 | |||||
- | 0 | + | 0 | - | |
↘ | 极小值 | ↗ | 极大值 | ↘ |
若满足题意,只需满足,整理得.
令,
当时,,
所以在上为增函数,
所以,当时,.
可见,当时,恒成立,故当,时,函数的最小值为.;所以满足题意.
(ⅱ)当,即时,,,0,当且仅当时取等号.
所以在上为减函数.从而在上为减函数.符合题意.
(ⅲ)当,即时,当变化时,,的变化情况如下表:
1 | |||||
- | 0 | + | 0 | - | |
↘ | 极小值0 | ↗ | 极大值 | ↘ |
若满足题意,只需满足,且(若,不符合题意),
即,且.
又,∴.
综上,.
所以实数的取值范围是.
【题目】为更好地落实农民工工资保证金制度,南方某市劳动保障部门调查了2018年下半年该市名农民工(其中技术工、非技术工各名)的月工资,得到这名农民工的月工资均在(百元)内,且月工资收入在(百元)内的人数为,并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图:
(1)求的值;
(2)已知这名农民工中月工资高于平均数的技术工有名,非技术工有名.
①完成如下所示列联表
技术工 | 非技术工 | 总计 | |
月工资不高于平均数 | |||
月工资高于平均数 | |||
总计 |
②则能否在犯错误的概率不超过的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系?
参考公式及数据:,其中.