题目内容

【题目】已知函数.

1)当时,求函数处的切线方程;

2)是否存在非负整数,使得函数是单调函数,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由;

3)已知,若存在,使得当时,的最小值是,求实数的取值范围.(注:自然对数的底数

【答案】(1)(2)存在,的值是012;(3)

【解析】

1)当时求出函数的导数,计算,利用点斜式,即可求出切线方程。

2)求出函数的导数,要使函数是单调函数即是使恒成立,对分类讨论,即可求出非负整数的值。

3)通过讨论的范围,根据函数的单调性求出的最小值,从而确定实数的取值范围。

解:(1的定义域为.

时,..

所以,函数处的切线方程为

2)∵,∴.

时,.是单调减函数.符合

时,若是单调增函数,则

恒成立,这不可能;

是单调减函数,则

恒成立,令,其开口方向向上,对称轴方程为

,故,∴

.

综上,满足条件的非负整数的值是012

3)∵

①当0时,.

时,上为减函数;

时,上为增函数.

所以当时,,不符合题意.

②当时,.

i)当,即时,当变化时,的变化情况如下:

1

0

+

0

极小值

极大值

若满足题意,只需满足,整理得.

时,

所以上为增函数,

所以,当时,.

可见,当时,恒成立,故当时,函数的最小值为.;所以满足题意.

)当,即时,,,0,当且仅当时取等号.

所以上为减函数.从而上为减函数.符合题意.

)当,即时,当变化时,的变化情况如下表:

1

0

+

0

极小值0

极大值

若满足题意,只需满足,且(若,不符合题意),

,且.

.

综上,.

所以实数的取值范围是.

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