题目内容

求证:关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根的充分条件和必要条件均是m≥2.

答案:
解析:

  证明:(1)充分性:因为m≥2,所以△=m2-4≥0.所以x2+mx+1=0有实根,两根设为x1、x2,由韦达定理,知x1x2=1>0,所以x1与x2同号.又x1+x2=-m≤-2<0,所以x1、x2同为负实数,即x2+mx+1=0有两个负实根的充分条件是m≥2.

  (2)必要性:因为x2+mx+1=0有两个负实根x1和x2,且x1x2=1,所以m-2=-(x1+x2)-2=-(x1)-2=≥0.故m≥2,即x2+mx+1=0有两负实根的必要条件是m≥2.综上,m≥2是x2+mx+1=0有两个负实根的充要条件.

  解析:本题的条件是p:m≥2,结论是q:方程x2+mx+1=0有两个负实根,然后要明确充分性的证明是pq,必要性的证明是qp.


提示:

本题关键是分清命题的条件p,结论q分别表示什么,且分清“充分条件”和“必要条件”的不同.


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