Question

1．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n．
（1）若4S_n-a_n²-2a_n-1=0，求{a_n}的通项公式；
（2）若{a_n}是等比数列，公比为q（q≠1，q为正常数），数列{lga_n}的前n项和为T_n，$\frac{{T}_{（k+1）n}}{{T}_{kn}}$为定值，
求a₁．

Answer 1

分析 （1）利用4S_n-a_n²-2a_n-1=0与$4{S_{n-1}}-a_{n-1}^2-2{a_{n-1}}-1=0$作差可得a_n-a_n-1=2，进而可得结论；
（2）通过设${a_n}={a_1}{q^{n-1}}$可得数列{lga_n}是lga₁为首项、lgq为公差的等差数列，利用等差数列的求和公式并化简可得$\left\{\begin{array}{l}{（k+1）^{2}-p{k}^{2}=0}\\{（k+1）-pk=0或{{a}_{1}}^{2}=q}\end{array}\right.$（其中p为定值），计算即得结论．

解答 解：（1）∵4S_n-a_n²-2a_n-1=0                        ①
∴$4{a_1}-a_1^2-2{a_1}-1=-a_1^2+2{a_1}-1=-{（{a_1}-1）^2}=0$，
即a₁=1，
由①得：当n≥2时，$4{S_{n-1}}-a_{n-1}^2-2{a_{n-1}}-1=0$        ②
①-②得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1-2=0，即a_n-a_n-1=2，
∴数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴a_n=2n-1；
（2）由题设可知：${a_n}={a_1}{q^{n-1}}$，
令b_n=lga_n=nlgq+lga₁-lgq，
∴数列{lga_n}是lga₁为首项、lgq为公差的等差数列，
若$\frac{{{T_{（k+1）n}}}}{{{T_{kn}}}}$为定值，令$\frac{{{T_{（k+1）n}}}}{{{T_{kn}}}}=p$（定值），
则$\frac{{（k+1）nlg{a_1}+\frac{（k+1）n[（k+1）n-1]}{2}lgq}}{{knlg{a_1}+\frac{kn（kn-1）}{2}lgq}}=p$，
即{[（k+1）²-pk²]lgq}n+[（k+1）-pk]（$lg\frac{{{a}_{1}}^{2}}{q}$）lgq=0对n∈N^*恒成立             （*）
∵q≠1，q＞0，
∴（*）式等价于$\left\{\begin{array}{l}{（k+1）^{2}-p{k}^{2}=0}\\{（k+1）-pk=0或{{a}_{1}}^{2}=q}\end{array}\right.$，
∴$\frac{k+1}{k}=\sqrt{p}$，将其代入（k+1）-pk=0，得：p=0或p=1，
∵k∈N^*，∴p＞0且p≠1，∴$a_1^2=q$，
∵a_n＞0，∴q＞0，
∴${a}_{1}=\sqrt{q}$．

点评 本题考查求数列的通项及求和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．