Question

定义区间（m，n），[m，n]，（m，n]，[m，n）的长度均为n-m，其中n＞m．
（1）求关于x的不等式4^x-2^x+3+7＜0的解集构成的区间的长度；
（2）若关于x的不等式2ax²-12x-3＞0的解集构成的区间的长度为

6

，求实数a的值；
（3）已知关于x的不等式sinxcosx+

3

cos2x+b＞0，x∈[0，π]的解集构成的各区间的长度和超过

π

3

，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）直接求解不等式得到x的取值集合，则答案可求；
（2）由关于x的不等式2ax²-12x-3＞0的解集构成的区间的长度为

6

，得到二次不等式对应方程的两个根的差的绝对值，平方后代入根与系数关系可求解a的值；
（3）把三角不等式的左侧化简，然后得到一个简单的三角不等式，由一个周期内的区间长度为

π

3

可得b的取值范围．

解答：解：（1）由4^x-2^x+3+7＜0，得（2^x）²-8•2^x+7＜0，解得1＜2^x＜7，所以0＜x＜log₂7．
所以不等式4^x-2^x+3+7＜0的解集构成的区间的长度为log₂7；
（2）关于x的不等式2ax²-12x-3＞0的解集构成的区间的长度为

6

，
得x2-x1=

6

，即(x1+x2)2-4x1x2=6，所以(

6

a

)2-4(-

3

2a

)=6
解得a=-2或a=3（舍）
∴关于x的不等式2ax²-12x-3＞0的解集构成的区间的长度为

6

的实数a的值为-2；
（3）因为sinxcosx+

3

cos2x+b=sin(2x+

π

3

)+

3

2

+b，
设f（x）=sin(2x+

π

3

)，
原不等式等价于“f（x）＞-

3

2

-b，x∈[0，π]”，
因为函数f（x）的最小正周期为π，[0，π]的长度恰为函数的一个正周期，
所以当-

3

2

-b＜

1

2

时，f（x）＞-

3

2

-b，x∈[0，π]的解集构成的各区间的长度和超过

π

3

，
即b的取值范围为（-

1+ 3

2

，+∞）．

点评：本题主要考查不等式的解法．其中第一、二问涉及到一元二次不等式的解法，一元二次不等式的解集由开口方向和对应方程的根二者决定．开口向上大于0的解集在两根的两边，小于0的解集在两根中间；开口向下大于0的解集在两根的中间，小于0的解集在两根两边，是中档题．