题目内容
(本小题满分14分)已知
.
(1)若
,函数
在其定义域内是增函数,求
的取值范围.
(2)在(1)的结论下,设
,求函数
的最小值;
(3)若
的图象与
轴交于
,
中点为
,求证:
.

(1)若



(2)在(1)的结论下,设


(3)若






(1)
(2)同解析(3)同解析

(1)依题意:
∵
在
递增
∴
对
恒成立 ………………1分
∴
…………………2分
∵
∴
………………3分
当且仅当
时取“
”,
∴
, …………………4分
且当
时,
,
,
∴符合
在
是增函数
∴
(2)设
,∵
∴
, 则函数
化为:
,
…………………6分
当
时,即
时.
在
递增
∴当
时,
②当
时,即
,当
③当
,即
时,
在
递减,当
时,
综上:
…………………9分
(3)依题意:
,假设结论不成立,
则有
……………②
由①
②得:
④ ………………10分
由③知
代入④
得
∴
即
…………………11分
令
则
…………⑤ ……………………12分
令

∵
∴
在
递增 …………………13分
∴
即
与⑤式矛盾
∴假设不成立
∴
………………………14分

∵


∴


∴

∵

∴

当且仅当


∴

且当




∴符合


∴

(2)设


∴




当




∴当


②当



③当






综上:


(3)依题意:



由①


由③知

得

∴


令


令


∵



∴


与⑤式矛盾
∴假设不成立
∴


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