题目内容

(14分)已知函数,其中常数
(1)当时,求函数的单调递增区间;
(2)当时,是否存在实数,使得直线恰为曲线的切线?若存在,求出的值;若不存在,说明理由;
(3)设定义在上的函数的图象在点处的切线方程为,当时,若内恒成立,则称为函数的“类对称点”。当,试问是否存在“类对称点”?若存在,请至少求出一个“类对称点”的横坐标;若不存在,说明理由.
(1)。(2)不存在;(3)存在“类对称点”,是一个“类对称点”的横坐标。

试题分析:(1),其中,…………………. ………. ……………2
.……………………………
时,时,……………3
的单调递增区间为。……………………….4
(2)当时,,其中
,…………………………5
方程无解,…………………………………………………6
不存在实数使得直线恰为曲线的切线。………7
(3)由(2)知,当时,函数在其图象上一点处的切线方程为………………..8
  …………………………………….9

上单调递减,时,,此时………………………………….
上单调递减,时,,此时……………………………………
上不存在“类对称点”………………..11
上是增函数,
时,,当时,,故
即此时点的“类对称点”
综上,存在“类对称点”,是一个“类对称点”的横坐标。…….14
点评:①本题主要考查函数的单调增区间的求法,以及探索满足条件的实数的求法,探索函数是否存在“类对称点”.解题时要认真审题,注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用.②利用导数求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域。
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