题目内容
已知函数(为常数,是自然对数的底数),曲线在点处的切线与轴平行.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的单调区间;
(Ⅲ)设,其中为的导函数.证明:对任意.
【答案】
:(Ⅰ);
(Ⅱ)的单调增为单调减区为.
(Ⅲ)见解析
【解析】:函数的定义域为
(Ⅰ),
由题意可知所以
(Ⅱ),
当时,,所以,
当时,,所以,
即的单调增为单调减区为
(Ⅲ).
显然时,,
所以
要证,只须证,即.
下面 求的最小值.
当时当时
所以的最小值为
即.
命题得证.
【考点定位】本题考函数的单调性、导数及其应用、切线等知识,并对分类讨论思想、逻辑推理论证进行考查。第三问通过分析法使问题得证,并体现构造思想,是近几年来少有的考查方式
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