题目内容

已知P为直线x+y-25=0任意一点，点Q为 $数学公式$ 上任意一点，则|PQ|的最小值为________．

10 $\text{[math]}$
分析：设动点P（ρcosθ，ρsinθ），由点到直线的距离公式求出它到直线的距离d，再由及正弦函数的有界性求出答案．
解答：∵点Q为 $\text{[math]}$ 上任意一点，
设动点Q（4cosθ，3sinθ）到直线x+y-25=0的距离等于
d= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵-5sin（θ+α）+25∈[20，30]，
∴d∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，
∴d的最小值为 $\text{[math]}$ =10 $\text{[math]}$ ．
故答案为：10 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查点到直线的距离公式的应用，椭圆的参数方程，以及正弦函数的有界性．利用正弦函数的有界性求出d的最小值是本题的难点．