Question

1．直线1通过点P（1，3）且与两坐标轴的正半轴交于A、B两点．
（1）直线1与两坐标轴所围成的三角形面积为6，求直线1的方程；
（2）求OA+OB的最小值；
（3）求PA•PB的最小值．

Answer 1

分析 （1）设出直线l的方程为y-3=k（x-1）（k＜0），求出直线在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式得答案；
（2）写出OA+OB的含有k的代数式，利用基本不等式求得最值；
（3）设出直线l的参数方程，利用t的几何意义求出PA，PB然后利用三角函数求最值．

解答 解：（1）设直线l的方程为y-3=k（x-1）（k＜0），
由x=0，得y=3-k，由y=0，得x=$1-\frac{3}{k}$，
∴${S}_{△AOB}=\frac{1}{2}（3-k）（1-\frac{3}{k}）$=6，解得：k=-3；
（2）OA+OB=3-k+1-$\frac{3}{k}$=4+（-k）+（-$\frac{3}{k}$）$≥4+2\sqrt{-k•（-\frac{3}{k}）}=4+2\sqrt{3}$．
当且仅当-k=-$\frac{3}{k}$，即k=-$\sqrt{3}$时上式“=”成立；
（3）设直线l的倾斜角为α，则它的方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=3+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），
由A、B是坐标轴上的点，不妨设y_A=0，x_B=0，
∴0=3+tsinα，即PA=|t|=$\frac{3}{sinα}$，
0=3+tcosα，即PB=|t|=-$\frac{1}{cosα}$．
故PA•PB=$\frac{3}{sinα}•（-\frac{1}{cosα}）$=-$\frac{6}{sin2α}$．∵90°＜α＜180°，
∴当2α=270°，即α=135°时，PA•PB有最小值．
∴直线方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=3+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），化为普通方程即x+y-4=0．

点评 本题考查直线的截距式方程，考查直线的参数方程和普通方程的互化，特别是要求直线上某一定点到直线与曲线交点距离时通常要使用参数的几何意义，宜用参数方程的标准形式，而对于某些比较简单的直线问题比如求直线和坐标轴或者与某条直线交点时宜用直线的普通方程，此题是中档题．