Question

已知函数f（x），g（x），在R上有定义，对任意的x，y∈R有f（x-y）=f（x）g（y）-g（x）f（y）且f（1）=0
（1）求证：f（x）为奇函数
（2）若f（1）=f（2），求g（1）+g（-1）的值．

Answer 1

分析：（1）对x∈R，令x=u-v，代入f（x-y）=f（x）g（y）-g（x）f（y）化简变形，可得f（-x）=-f（x），从而得到结论；
（2）根据f（2）=f[1-（-1）]=f（1）g（-1）-g（1）f（-1）=f（1）g（-1）+g（1）f（1）=f（1）[g（-1）+g（1）]，然后根据f（1）=f（2）即可求出g（1）+g（-1）的值．

解答：解（1）对x∈R，令x=u-v则有
f（-x）=f（v-u）=f（v）g（u）-g（v）f（u）
=f（u-v）=-[f（u）g（v）-g（u）f（v）]=-f（x）；
∴f（x）为奇函数
（2）f（2）=f[1-（-1）]
=f（1）g（-1）-g（1）f（-1）
=f（1）g（-1）+g（1）f（1）
=f（1）[g（-1）+g（1）]
∵f（2）=f（1）≠0，
∴g（-1）+g（1）=1．

点评：本题主要考查了抽象函数的奇偶性以及函数求值，解题的关键是如何利用定义，属于中档题．