题目内容
13.已知a,b∈(0,1),则a+b≤1是不等式ax2+by2≥(ax+by)2对任意x,y∈R恒成立的充分必要条件.分析 结合不等式的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断.
解答 解:∵ax2+by2-(ax+by)2
=(a-a2)x2+(b-b2)y2-2abxy
=a(1-a)x2+b(1-b)y2-2abxy,
又∵a+b≤1,a,b∈(0,1),
∴原式=abx2+aby2-2abxy=ab(x-y)2≥0,
∴ax2+by2≥(ax+by)2,成立.
当x=y=1时,不等式等价为a+b≥(a+b)2,
即(a+b)(a+b-1)≤0,
∵a,b∈(0,1),
∴a+b-1≤0,即a+b≤1,
∴a+b≤1是不等式ax2+by2≥(ax+by)2 对任意的x,y∈R恒成立的充分必要条件,
故答案为:充分必要.
点评 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用不等式的性质是解决本题的关键.
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