题目内容

16.已知(x+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$)n的展开式中前三项的系数成等差数列.
(Ⅰ)求n的值;   
(Ⅱ)求展开式中系数最大的项.

分析 (Ⅰ)由题设前三项的系数成等差数列,可得${C}_{n}^{0}$+$\frac{1}{4}$×C${\;}_{n}^{2}$=2×$\frac{1}{2}$C${\;}_{n}^{1}$,由此求得得n的值.
(Ⅱ)设第r+1的系数最大,则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{2}^{r}}{C}_{8}^{r}≥\frac{1}{{2}^{r+1}}{C}_{8}^{r+1}}\\{\frac{1}{{2}^{r}}{C}_{8}^{r}≥\frac{1}{{2}^{r-1}}{C}_{8}^{r-1}}\end{array}\right.$,求得r的值,可得展开式中系数最大的项.

解答 解:(Ⅰ)由题设,可得 ${C}_{n}^{0}$+$\frac{1}{4}$×C${\;}_{n}^{2}$=2×$\frac{1}{2}$C${\;}_{n}^{1}$,即n2-9n+8=0,解得n=8,n=1(舍).
(Ⅱ)设第r+1的系数最大,则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{2}^{r}}{C}_{8}^{r}≥\frac{1}{{2}^{r+1}}{C}_{8}^{r+1}}\\{\frac{1}{{2}^{r}}{C}_{8}^{r}≥\frac{1}{{2}^{r-1}}{C}_{8}^{r-1}}\end{array}\right.$,即 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{8-r}≥\frac{1}{2(r+1)}}\\{\frac{1}{2r}≥\frac{1}{9-1}}\end{array}\right.$解得r=2或r=3,
所以系数最大的项为T3=7x5,T4=7x${\;}^{\frac{9}{2}}$.

点评 本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,属于基础题.

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