Question

已知函数f（x）是奇函数，f（x）的定义域为（-∞，+∞）．当x＜0时，f（x）=

ln(-ex)

x

．这里，e为自然对数的底数．
（1）若函数f（x）在区间(a，a+

1

3

)(a＞0)上存在极值点，求实数a的取值范围；
（2）如果当x≥1时，不等式f(x)≥

k

x+1

恒成立，求实数k的取值范围；
（3）试判断 ln

1

n+1

与2(

1

2

+

2

3

+…+

n

n+1

)-n的大小关系，这里n∈N^*，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）依题意，可求得当x＞0时，f（x）=

1+lnx

x

，从而可知f′（x）=-

lnx

x2

，利用f′（x）＞0可求得0＜x＜1；f′（x）＜0⇒x＞1，依题意即可求得实数a的取值范围；
（2）依题意，可转化为求k≤

(x+1)(1+lnx)

x

（x≥1）恒成立问题，构造函数g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

（x≥1），利用导数法可求得g（x）_min=g（1）=2，从而可得实数k的取值范围；
（3）由（2）知，当x≥1时，f（x）≥

2

x+1

⇒lnx≥1-

2

x+1

＞1-

2

x

，令x=

k+1

k

（k=1，2，…，n），得ln

2

1

＞1-

2

2

，ln

3

2

＞1-

2•2

3

，…ln

n+1

n

＞1-

2•n

n+1

，
将以上不等式两端分别相加即可．

解答：解：依题意，x＞0时，f（x）=-f（-x）=

ln(ex)

x

=

1+lnx

x

，
（1）当x＞0时，有f′（x）=

1 x •x-(1+lnx)•1

x2

=-

lnx

x2

，
f′（x）＞0?lnx＜0?0＜x＜1；f′（x）＜0?lnx＞0?x＞1；
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，∞）上单调递减，函数f（x）在x=1处取得唯一的极值．
由题意a＞0，且a＜1＜a+

1

3

，解得

2

3

＜a＜1．
∴所求实数a的取值范围为

2

3

＜a＜1．
（2）当x≥1时，f（x）≥

k

x+1

?

1+lnx

x

≥

k

x+1

?k≤

(x+1)(1+lnx)

x

．
令g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

（x≥1），由题意，k≤g（x）在[1，+∞）上恒成立，
g′（x）=

[(x+1)(1+lnx)]′•x-(x+1)(1+lnx)•x′

x2

=

x-lnx

x2

，
令h（x）=x-lnx（x≥1），则h′（x）=1-

1

x

≥0，当且仅当x=1时取等号．
∴h（x）=x-lnx在[1，+∞）上单调递增，h（x）≥h（1）=1＞0．
因此，g′（x）=

h(x)

x2

＞0，g（x）在[1，+∞）上单调递增，g（x）_min=g（1）=2．
∴k≤2．
∴所求实数k的取值范围为（-∞，2]．
（3）由（2），当x≥1时，即f（x）≥

2

x+1

，即

1+lnx

x

≥

2

x+1

．
从而lnx≥1-

2

x+1

＞1-

2

x

．
令x=

k+1

k

（k=1，2，…，n），得ln

2

1

＞1-

2

2

，ln

3

2

＞1-

2•2

3

，
…
ln

n+1

n

＞1-

2•n

n+1

，
将以上不等式两端分别相加，得ln（n+1）＞n-2（

1

2

+

2

3

+

3

4

+…+

n

n+1

），
∴ln

1

n+1

＜2（

1

2

+

2

3

+

3

4

+…+

n

n+1

）-n．

点评：本题考查分析法与综合法，着重考查导数在最大值、最小值问题中的应用，考查转化思想与恒成立问题，属于难题．