题目内容
设{a
n}是一个公差为d(d≠0)的等差数列,它的前n项和为S
n,S
10=110且a
1,a
2,a
4成等比数列.
(Ⅰ)证明a
1=d;
(Ⅱ)求公差d的值和数列{a
n}的前n项和S
n;
(Ⅲ)设
bn=,求数列{b
n}的前n项和T
n.
分析:(Ⅰ)由a
1,a
2,a
4成等比数列,可得
=a
1a
4,再由{a
n}是等差数列,可得a
2=a
1+d,a
4=a
1+3d,代入化简可得;(Ⅱ)由等差数列的求和公式代入已知条件可得d的值,进而可得a
1的值,可得通项公式,进而可得前n项和;( III)可得
bn===-,裂项相消法可得其和.
解答:解:(Ⅰ)因a
1,a
2,a
4成等比数列,故
=a
1a
4,
又∵{a
n}是等差数列,有a
2=a
1+d,a
4=a
1+3d,
∴(a
1+d)
2=a
1(a
1+3d),
+2a
1d+d
2=
+3a
1d,
化简可得d
2=a
1d,又∵d≠0,解得a
1=d
(Ⅱ)由等差数列的求和公式可得S
10=10a
1+
d,
化简可得10a
1+45d=110,把a
1=d代入上式得55d=110,
解得d=2,∴a
1=2,∴a
n=a
1+(n-1)d=2n.
∴
Sn==n2+n( III)由(Ⅱ)得
bn===-,
∴
Tn=b1+b2+…+bn=(1-)+(-)+…+(-)=
1-=,即
Tn= 点评:本题考查等差数列的通项公式和求和公式,涉及裂项相消法求数列的和,属中档题.
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