Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB₁=2，M，N分别是AB，A₁C的中点．
（1）求直线MN与平面A₁B₁C所成的角；
（2）在线段AC上是否存在一点E，使得二面角E-B₁A₁-C的余弦值为

3 10

10

？若存在，求出AE的长，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）分别B₁A₁、B₁C₁、B₁B为x、y、z轴，建立空间直角坐标系B₁-xyz，如图所示．算出B₁、C、A₁、B的坐标，从而得到M、A、C、N各点的坐标，得

B1C

、

MN

、

B1A1

的坐标，进而算出

NM

•

B1C

=0且

NM

•

B1A1

=0，利用线面垂直的判定定理得到MN⊥平面A₁B₁C，即MN与平面A₁B₁C所成的角为90°；
（2）设E（x，y，z）且

AE

=λ

AC

，可得

B1E

=（2-2λ，2λ，2），利用垂直向量数量积为零的方法算出平面A₁B₁E的一个法向量为

α

=（0，-

1

λ

，1）．平面A₁B₁C的法向量为

MN

=（0，1，-1），由二面角E-B₁A₁-C的余弦值为

3 10

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利用空间向量的夹角公式，建立关于λ的方程解出λ=

1

2

得到AE=

2

，从而得出存在满足条件的点E．

解答：解：（1）分别B₁A₁、B₁C₁、B₁B为x、y、z轴，建立空间直角坐标系B₁-xyz，如图所示
可得B₁（0，0，0），C（0，2，2），A₁（2，0，0），B（0，0，2），
则M（1，0，2），A（2，0，2），C（0，2，2），N（1，1，1）------------（2分）

B1C

=（0，2，2），

MN

=（0，1，-1），

B1A1

=（2，0，0）
∵

NM

•

B1C

=0，且

NM

•

B1A1

=0，--------（4分）
∴MN⊥B₁C，MN⊥B₁A₁
结合B₁C∩B₁A₁=B₁，可得MN⊥平面A₁B₁C
即MN与平面A₁B₁C所成的角为90°．-----------------（5分）
（2）设E（x，y，z），且

AE

=λ

AC

，--------------（6分）
则（x-2，y，z-2）=λ（-2，2，0）
解之得x=2-2λ，y=2λ，z=2，

B1E

=（2-2λ，2λ，2）-------（7分）
由（1）可知：平面A₁B₁C的法向量为

MN

=（0，1，-1），
设平面A₁B₁E的法向量为

α

=(m，n，p)，
则

α

•

A1B1

=0且

α

•

B1E

=0，
则可解得

α

=（0，-

1

λ

，1），----------------（9分）
∴

|- 1 λ -1|

1 λ2 +1 • 2

=

3 10

10

，可得2λ²-5λ+2=0，解之得λ=

1

2

或2-------（11分）
由于点E在线段上，所以λ=

1

2

，此时AE=

2

即在线段AC上存在一点E，当AE的长为

2

时，二面角E-B₁A₁-C的余弦值为

3 10

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．---------（12分）

点评：本题利用空间坐标系，证明了直线与平面所成角并探索二面角的大小问题．着重考查了线面垂直的判定定理和利用空间向量研究二面大小等知识点，属于中档题．