Question

已知函数f（x）=x²+ax+b，g（x）=e^x（cx+d）若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．
（Ⅰ）求a，b，c，d的值；
（Ⅱ）若x≥-2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．

Answer 1

分析：（I）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），从而解出a，b，c，d的值；
（II）由（I）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的导函数，通过对k的讨论，判断出F（x）的最值，从而判断出f（x）≤kg（x）恒成立，从而求出k的范围．

解答：解：（I）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，
而f′（x）=2x+a，g′（x）=e^x（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，
从而a=4，b=2，c=2，d=2；
（II）由（I）知，f（x）=x²+4x+2，g（x）=2e^x（x+1）
设F（x）=kg（x）-f（x）=2ke^x（x+1）-x²-4x-2，则F′（x）=2ke^x（x+2）-2x-4=2（x+2）（ke^x-1），
由题设得F（0）≥0，即k≥1，令F′（x）=0，得x₁=-lnk，x₂=-2，
（i）若1≤k≤e²，则-2＜x₁≤0，从而当x∈（-2，x₁）时，F′（x）＜0，当x∈（x₁，+∞）时，F′（x）＞0，
即F（x）在（-2，x₁）上减，在（x₁，+∞）上是增，故f（x）在[-2，+∞）上的最小值为F（x₁），
而f（x₁）=-x₁（x₁+2）≥0，故当x≥-2时，f（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立，
（ii）若k=e²，则F′（x）=2e²（x+2）（e^x-e^-2），从而当x∈（-2，+∞）时，F′（x）＞0，
即F（x）在（-2，+∞）上是增，而f（-2）=0，故当x≥-2时，f（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立，
（i）ii若k＞e²时，则F′（-2）=-2ke^-2+2=-2e^-2（k-e²）＜0，故当x≥-2时，f（x）≤kg（x）不可能成立，
综上，k的取值范围是[1，e²]．

点评：此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质，此题是一道中档题．