题目内容

(2009•河西区二模)已知抛物线C的顶点在坐标原点O,准线方程是x=-2,过点M(-1,1)的直线l与抛物线C相交于不同的两点A,B
(I)求抛物线C的方程及直线l的斜率k的取值范围;
(Ⅱ)求|
AB
|
(用k表示)
分析:(I)利用抛物线的准线方程即可得出p,进而得到抛物线方程,与直线l的方程联立即可得到关于x的一元二次方程,利用△>0即可得出(注意k=0时);
(II)利用根与系数的关系和弦长公式即可得出.
解答:解:(I)由题意设C的方程为y2=2px(p>0),由-
p
2
=-2
,得p=4.
∴y2=8x.
设直线l的方程为y-1=k(x+1),由
y2=8x                  ①
y-1=k(x+1)         ②

②代入①化简整理得   k2x2+(2k2+2k-8)x+k2+2k+1=0,
因直线l与抛物线C相交于不同的两点,
故△=(2k2+2k-8)2-4k2(k2+2k+1)>0,
即k2+k-2<0,解得-2<k<1,又k=0时仅交一点,
∴k∈(-2,0)∪(0,1).
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由(I)知x1+x2=-
2k2+2k-8
k2
x1x2=
k2+2k+1
k2

|
AB
|=
1+k2
|x2-x1|=
1+k2
k2
=
1+k2
64-32k-32k2
k2

=
4
1+k2
4-2k-2k2
k2
(k∈(-2,0)∪(0,1))
点评:熟练掌握抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到△>0即根与系数的关系、弦长公式等是解题的关键.
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