Question

如图，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E，F，G，H分别是线段PA，PD，CD，AB的中点．
（Ⅰ）求证：PB∥平面EFGH；
（Ⅱ）求二面角C-EF-G的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先证明E、F、G、H四点共面，再利用三角形中位线的性质证明EH∥PB，利用线面平行的判定证明PB∥平面EFGH；
（Ⅱ）证明∠BEH为二面角C-EF-G的平面角，利用余弦定理即可求二面角C-EF-G的余弦值．

解答：（Ⅰ）证明：∵E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点，∴GH∥AD∥EF，
∴E、F、G、H四点共面．
又H为AB的中点，∴EH∥PB，
∵EH?面EFGH，PB?平面EFGH，∴PB∥面EFGH；
（Ⅱ）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，
∴AD⊥AB，AD⊥PA
∵AB∩PA=A
∴AD⊥平面PAB
∵EF∥AB
∴EF⊥平面PAB
∴∠BEH为二面角C-EF-G的平面角
△BEH中，BH=1，EH=

2

，BE=

5

，∴cos∠BEH=

2+5-1

2× 2 × 5

=

3 10

10

．

点评：本题考查线面平行，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．