[题目]已知椭圆为参数), 是上的动点.且满足为坐标原点).以原点为极点. 轴的正半轴为极轴建立坐标系.点的极坐标为.(1)求线段的中点的轨迹的普通方程,(2)利用椭圆的极坐标方程证明为定值.并求面积的最大值. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】已知椭圆为参数）, 是上的动点，且满足为坐标原点)，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，点的极坐标为.

（1）求线段的中点的轨迹的普通方程；

（2）利用椭圆的极坐标方程证明为定值，并求面积的最大值.

【答案】（1）（2）最大值.

【解析】试题分析：（1）将的极坐标转化为平面直角坐标，由椭圆的参数方程，可设点的坐标，利用中点坐标得出点坐标，消去参数可得轨迹的普通方程；（2）将椭圆的普通方程化为极坐标方程，可设两点的极坐标，由题中所给，可得结论．

试题解析：（1）点的直角坐标为，由题意可设点的坐标为参数，

则线段的中点的坐标为，

所以点的轨迹的参数方程为为参数）

消去可得的普通方程为.

（2）椭圆的普通方程为，化为极坐标方程得，

变形得，

由，不妨设，所以

（定值），

易知当时，取得最大值.

练习册系列答案

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A.
B.
C.
D.

【题目】目前我国城市的空气污染越来越严重，空气质量指数一直居高不下，对人体的呼吸系统造成了严重的影响，现调查了某城市500名居民的工作场所和呼吸系统健康，得到列联表如下：

	室外工作	室内工作	合计
有呼吸系统疾病	150
无呼吸系统疾病		100
合计	200

（Ⅰ）请把列联表补充完整；

（Ⅱ）你是否有95%的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关；

（Ⅲ）现采用分层抽样从室内工作的居民中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2人，求2人都有呼吸系统疾病的概率.

参考公式与临界表：

	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

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【题目】关于x的不等式4x+x﹣a≤ 在x∈[0， ]上恒成立，则实数a的取值范围是（）
A.（﹣∞，﹣ ]
B.（0，1]
C.[﹣ ，1]
D.[1，+∞）

【题目】已知函数， .

（1）证明：，直线都不是曲线的切线；

（2）若，使成立，求实数的取值范围.

【题目】微信红包是一款可以实现收发红包、查收记录和提现的手机应用.某网络运营商对甲、乙两个品牌各5种型号的手机在相同环境下抢到的红包个数进行统计，得到如下数据：

手机品牌型号	I	II	III	IV	V
甲品牌（个）	4	3	8	6	12
乙品牌（乙）	5	7	9	4	3

手机品牌红包个数	优	非优	合计
甲品牌（个）
乙品牌（个）
合计

（1）如果抢到红包个数超过5个的手机型号为“优”，否则为“非优”，请完成上述2×2列联表，据此判断是否有85%的把握认为抢到的红包个数与手机品牌有关？

（2）如果不考虑其他因素，要从甲品牌的5种型号中选出3种型号的手机进行大规模宣传销售.

①求在型号I被选中的条件下，型号II也被选中的概率；

②以表示选中的手机型号中抢到的红包超过5个的型号种数，求随机变量的分布列及数学期望.

下面临界值表供参考：

	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

参考公式：，其中.

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（1）求f'（1）和函数x的极值；
（2）若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，求实数a的取值范围；
（3）直线l为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程．

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