Question

14．设a为实数，函数f（x）=x³-x²-x+a．
（1）求f（x）的极值；
（2）当a在什么范围内取值时，曲线y=f（x）与x轴有三个交点？

Answer 1

分析 （1）函数连续可导，只需讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值点，求出极值．
（2）曲线f（x）与x轴有三个交点，可转化成a-1＜0＜$\frac{5}{27}$+a即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-2x-1．…（1分）
令f′（x）=0，则x=-$\frac{1}{3}$或x=1．…（2分）
当x变化时f′（x）、f（x）变化情况如下表：

x	（-∞．-$\frac{1}{3}$）	-$\frac{1}{3}$	（-$\frac{1}{3}$，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	•

…（6分）
所以f（x）的极大值是f（-$\frac{1}{3}$）=$\frac{5}{27}$+a，
极小值是f（1）=a-1．…（8分）
（2）由（1）知道，f（x）_极大值=$\frac{5}{27}$+a或f（x）_极小值=f（1）=a-1，
因为曲线y=f（x）与x轴有三个交点，
所以a-1＜0＜$\frac{5}{27}$+a，
所以-$\frac{5}{27}$＜a＜1．

点评 本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数的单调性，考查函数的零点，属于中档题．