Question

已知函数f（x）=lnx²-

2ax

e

，（a∈R，e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求函数f（x）的递增区间；
（Ⅱ）当a=1时，过点P（0，t）（t∈R）作曲线y=f（x）的两条切线，设两切点为P1（x₁，f（x₁）），P₂（x₂，f（x₂））（x₁≠x₂），求证：x₁+x₂=0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出f（x）的定义域，求出f′（x），分三种情况a=0，a＞0，a＜0，由f′（x）＞0得到函数的增区间；由f′（x）＜0得到函数的减区间即可；
（Ⅱ）把a=1代入到导函数中得到f′（x），则两条切线的斜率分别为

2(e-x1)

ex1

和

2(e-x2)

ex2

，又因为切线过p（0，t），所以写出两条切线的方程，化简得到x₁²=x₂²．因为x₁≠x₂所以得证．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）．
f′（x）=

2

x

-

2a

e

=

2(e-ax)

ex

．
当a=0时，由f′（x）=

2

x

≥0，解得x＞0；
当a＞0时，由f′（x）=

2(e-ax)

ex

＞0，解得0＜x＜

e

a

；
当a＜0时，由f′（x）=

2(e-ax)

ex

＞0，解得x＞0，或x＜

e

a

．
所以当a=0时，函数f（x）的递增区间是（0，+∞）；
当a＞0时，函数f（x）的递增区间是（0，

e

a

）；
当a＜0时，函数f（x）的递增区间是（-∞，

e

a

）∪（0，+∞）．
（Ⅱ）因为f′（x）=

2

x

-

2

e

=

2(e-x)

ex

，
所以以p₁（x₁，f（x₁））为切点的切线的斜率为

2(e-x1)

ex1

；
以p₂（x₂，f（x₂））为切点的切线的斜率为

2(e-x2)

ex2

．
又因为切线过点p（0，t），
所以t-lnx12+

2x1

e

=

2(e-x1)

ex1

(0-x1)；t-lnx22+

2x2

e

=

2(e-x2)

ex2

(0-x2)．
解得，x₁²=e^t+2，x₂²=e^t+2．则x₁²=x₂²．
由已知x₁≠x₂
所以，x₁+x₂=0．

点评：考查学生会利用导数函数单调性，会利用导数曲线上某点的切线方程．