Question

7．已知函数f（x）=x²-3
（1）求函数g（x）=e^xf（x）的极值；
（2）过点A（2，t），存在与曲线y=x（f（x）-9）相切的3条切线，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出g（x）的解析式和导数，求得单调区间，即可得到极值；
（2）设点P（x₀，x₀³-12x₀）是曲线y=x（f（x）-9）的切点，写出在P点处的切线的方程，将点A（2，t）代入，将t分离出来，根据有三条切线，所以方程应有3个实根，设h（x）=2x³-6x²+t+24，只要使曲线有3个零点即可．建立不等关系解之即可．

解答 解：（1）函数g（x）=e^xf（x）=e^x（x²-3），
g′（x）=e^x（x²+2x-3）=）=e^x（x+3）（x-1），
当x＞1或x＜-3时，g′（x）＞0，g（x）在（-∞，-3），（1，+∞）递增，
当-3＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）在（-3，1）递减．
即有g（x）在x=1处取得极小值，且为-2e，在x=-3处取得极大值，且为6e^-3；
（2）设点P（x₀，x₀³-12x₀）是过点A的直线与曲线y=x（f（x）-9）的切点，
y′=（x³-12x）′=3x²-12，
则在P点处的切线的方程为y-x₀³+12x₀=3（x₀²-4）（x-x₀）
即y=3（x₀²-4）x-2x₀³
因为其过点A（2，t），所以，t=6（x₀²-4）-2x₀³=-2x₀³+6x₀²-24，
由于有三条切线，所以方程应有3个实根，
设h（x）=2x³-6x²+t+24，只要使函数h（x）有3个零点即可．
设h′（x）=6x²-12x=0，∴x=0或x=2分别为g（x）的极值点，
当x∈（-∞，0）和（2，+∞）时h′（x）＞0，h（x）在（-∞，0）和（2，+∞）上单增，
当x∈（0，2）时h′（x）＜0，h（x）在（0，2）上单减，
所以，x=0为极大值点，x=2为极小值点．
所以要使曲线与x轴有3个交点，
当且仅当$\left\{\begin{array}{l}{h（0）＞0}\\{h（2）＜0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{t+24＞0}\\{t+16＜0}\end{array}\right.$，
解得-24＜t＜-16．
即有t的范围为（-24，-16）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义和极值的求法，注意函数和方程的转化思想的运用，属于中档题和易错题．