题目内容
【题目】【2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】
已知数列
满足
，
，其中
，
，
为非零常数.
（1）若
，
，求证：
为等比数列，并求数列
的通项公式；
（2）若数列
是公差不等于零的等差数列.
①求实数
，
的值；
②数列的前
项和
构成数列
，从
中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列.试问：是否存在首项为
的四项子数列，使得该子数列中的所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）①
，
，
.②
，
，
【解析】
解：（1）当
，
时，
，
.
又
，不然
，这与
矛盾，
为2为首项，3为公比的等比数列，
，
.
（2）①设
，
由
得
，
，
对任意
恒成立.
令
，2，3，解得，，，
.
经检验，满足题意.
综上，，，.
②由①知
.
设存在这样满足条件的四元子列，观察到2017为奇数，这四项或者三个奇数一个偶数、或者一个奇数三个偶数.
1°若三个奇数一个偶数，设
，
，
，
是满足条件的四项，
则
，
，这与1007为奇数矛盾，不合题意舍去.
2°若一个奇数三个偶数，设，
，
，是满足条件的四项，
则
，
.
由504为偶数知，
，
，
中一个偶数两个奇数或者三个偶数.
1）若，，中一个偶数两个奇数，不妨设
，
，
，
则
，这与251为奇数矛盾.
2）若，，均为偶数，不妨设，
，
，
则
，继续奇偶分析知
，
，
中两奇数一个偶数，
不妨设
，
，
，则
.
因为
，
均为偶数，所以
为奇数，不妨设
，
当
时，
，
，检验得
，
，，
当
时，
，
，检验得
，
，，
当
时，
，
，检验得，
，，
即，
，
，
或者，
，
，
或者，，
，
满足条件，
综上所述，，，为全部满足条件的四元子列.
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