Question

【题目】质量均匀的无底圆桶重，放在水平桌面上，如图甲所示，内放甲、乙均匀圆球，每球重为、半径为，桶的半径为，且，若各接触面间摩擦不计，试求为使圆桶不至于翻倒的最小值。如果桶有底呢？

Answer 1

【答案】，如果桶有底，桶不可能翻倒。

【解析】

方法1 小球甲受到三个力：重力、桶壁的支持力和乙球对甲球的弹力（沿两球球心），如图乙所示。

根据平衡条件可得，，

解得.

把甲、乙两个球作为一个整体，如图丙所示，由水平方向的平衡条件可知乙球在点受到的弹力。由牛顿第三定律可知，甲、乙两球对桶壁的弹力的大小分别等于。对无底圆桶，取点为转动轴时，将要翻时，仅处与对面有弹力，要使圆桶不致翻倒，由力矩平衡条件

，

从而，.

如果桶有底，则整体分析，由受力可知地面对整个桶底总有弹力，因此桶不可能翻倒。

方法2 如图丁所示，把甲、乙两个球作为一个整体，由竖直方向受力平衡可知地面对球乙的弹力大小为，将两个球和桶作为整体分析，取点为转动轴，将要翻时，仅处与地面有弹力。要使圆桶不致翻倒，由力矩平衡条件得

，

即，

解得.

如果桶有底，则整体分析，由受力可知地面对整个桶底总有弹力，因此桶不可能翻倒。