题目内容
【题目】近代的材料生产和微加工技术，可制造出一种使电子的运动限制在半导体的一个平面内（二维）的微结构器件，且可做到电子在器件中像子弹一样飞行，不受杂质原子散射的影响．这种特点可望有新的应用价值．图甲所示为四端十字形．二维电子气半导体，当电流从1端进入时，通过控制磁场的作用，可使电流从2，3或4端流出．对下面模拟结构的研究，有助于理解电流在上述四端十字形导体中的流动．在图乙中，
、
、
、
为四根半径都为
的圆柱体的横截面，彼此靠得很近，形成四个宽度极窄的狭缝1、2、3、4，在这些狭缝和四个圆柱所包围的空间（设为真空）存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面指向纸内．以
表示磁感应强度的大小．一个质量为
、电荷量为
的带正电的粒子，在纸面内以速度
沿与、都相切的方向由缝1射入磁场内，设粒子与圆柱表面只发生一次碰撞，碰撞是弹性的，碰撞时间极短，且碰撞不改变粒子的电荷量，也不受摩擦力作用．试求为何值时，该粒子能从缝2处且沿与、都相切的方向射出？
【答案】
【解析】
在图中纸面内取
坐标（如图丙所示），原点在狭缝1处，
轴过缝1和缝3．粒子从缝1进入磁场，在洛仑兹力作用下做圆周运动，圆轨道在原点与轴相切，故其圆心必在
轴上．若以
表示此圆的半径，则圆方程为
．
根据题目要求和对称性可知，粒子在磁场中做圆周运动时应与
的柱面相碰于缝3、4间的圆弧中点处，碰撞处的坐标为
，
，解得
．
由洛仑兹力和牛顿定律有
，所以，．
本题是第26届全国中学生物理竞赛预赛试题．
带电粒子在磁场中的运动是常规教学中训练最多的题型之一．解答此类问题，要求答题者具备较强的几何认知能力，对带电粒子的各种圆轨迹的形态、边界、圆心位置的确定、半径的计算等，能做到熟练应对．
遗憾的是，在常规教学中对轨迹的讨论几乎都局限在平面内进行，而在竞赛中往往又会出现空间特性，要求更高．
