题目内容
【题目】在盛有密度为
的液体的大容器中放入一只底面积为
的小圆柱形容器，小容器底部有一根长为
的细管（如图所示）.两只容器均固定不动。封闭细管下端后往小容器中注入密度为
的染色液体，使其深度为
，恰好与外面液面相平。然后打开细管的下端，可以看到重液由细管内流入大容器，过一段时间轻液开始由细管进入小容器，以后这个过程重复地进行。如果两种液体不会混合，也不计表面张力，试求：
（1）第一次从小容器中流出的液体的质量
；
（2）在以后的每次循环中，流进小容器的轻液的质量
和从小容器流出的重液的质量
各是多少？
【答案】（1）
（2）
【解析】
当拔去细管的塞子后,我们观察细管下端
处的薄液片所受的上、下压强.如图乙所示,有
上压强：
;
下压强：
.
为大气压强.
由于
,因此
,这就导致管内密度大的液体流向管外.由于管子很细,且上、下压强差并不是很大,在各种内摩擦等因素的影响下,密度大的液体是缓慢流出的.当小容器内的液面下降,使细管端的上、下压强相等时,密度大的液体就不会再继续流出.注意到小容器的截面积远小于大容器,因此大容器中的液面高度可当作是近似不变的。
设平衡时,小容器内液面降低
,在端,有
上压强：
;
下压强：
.
由
,得
,
.
故第1次从小容器流出的重液质量为
.
这种平衡是不稳定的。
设想由于液体内的微扰而使管内密度大的液体向上回缩了一个小量
,如图丙所示,则有
上压强：
,
下压强：
.
(这里再次作了如下近似:细管的截面积远小于
，当细管内密度大的液体流回到小容器中后,小容器的液面高度近似不变)
由于
.
这表明细管内的密度大的液体会一直回流,当密度大的液体面回流到细管上端
后,密度小的液体开始上浮.这就使小容器内总液面高度不断增加,一直到细管端的上、下压强相等为止,即
.
此后,将会不断循环,直至小容器内密度大的液体全部流出,沉于大容器底部,而小容器内则换成了密度小的液体整个系统的重力势能达到最小状态,处于稳定平衡.我们计算在这种循环中任一次流入小容器的密度小的液体质量
与从容器中流出的密度大的液体质量
在每次密度小的液体流入小容器的开始,
.
设在小容器中流入
高度的密度小的液体后,在细管端的上、下压强相等,则
,
得
,
.
而在每次密度大的液体流出小容器的开始,总有
设小容器中密度大的液体高度减少
后,在细管端的上、下压强相等,即
,
得
,
.
初次接触本题时,会感觉本题从题目到解答都晦涩难懂.液体平衡时对模型的理解、对象的选择、动态过程的分析,都对答题者有着较高的能力要求。
从本质上看,本题是一道关于液体平衡稳定性讨论的试题,即通过对处在细管中的液体的受力分析(压强分析),在微扰的情况下确定它是处于不稳平衡状态,且这种不稳平衡是单向的,其作用结果是让轻液流入小容器,而重液流出小容器。
现有的中学物理竞赛辅导资料中,关于液体的平衡状态的试题极少,本题可以说是一个孤例,但学习者不应回避这一问题,对于此题,亦应悉心领会。
