Question

【题目】假设火箭不受外力作用，火箭初始质量为，初始速度为零，设所有燃料用完时火箭质量为，气体以相对火箭为的速率向后喷射出去，求火箭燃料用完时的速率，若考虑重力的影响，为多少？

Answer 1

【答案】,若考虑重力

【解析】

取x轴平行于火箭轨道并指向运动前方，则

。

在所取的坐标轴中，的投影为，把代入密舍尔斯基方程，并化为一维方程，得

，

改为。

两边积分，并把已知条件时，质量为，燃料用完时，质量为代入积分上、下限，得

，

解得。

由上式可见，要提高火箭的速率，应提高喷射速率或质量比，但由于火箭上需装备仪器设备，存放燃料也需要容器，所以不可能太小，一般约为6，另外，也受到一定限制，通常可达2～3km/s，所以用一级火箭时v达不到第一宇宙速度（～8km/s），一般发射人造卫星或宇宙飞船必须用多级火箭。

当考虑地球的引力时，设火箭在加速过程中引力不变，则有

，即，

各项分别积分得

，

得。

与不受重力的情况相比，火箭所能达到的速度降低了这降低的部分称为速度损失，速度损失与喷射气体的时间成正比。喷射时间越短，速度损失越小。